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光华讲坛——社会名流与公司家论坛第6847期

主题：The Rate of Convergence of the Augmented Lagrangian Method for a Nonlinear Semidefinite Nuclear Norm Composite Optimization Problem非线性半定核范数复合优化问题增广拉格朗日方法的收敛率

主讲人：东北大学智能工业与系统优化国家级前沿科学研究中心 张立卫教授

主持人：数学学院 孟开文教授

时间：12月12日14:45-15:45

地点：柳林校区通博楼叠412

主办单位：数学学院 科研处

主讲人介绍：

张立卫，东北大学智能工业与系统优化国家级前沿科学研究中心教授，中国运筹学会监事。长期从事“矩阵优化”，“随机规划”和“均衡优化”的理论与算法的研究，在稳定性分析和邻近点方法方面取得系统的研究成果。在专业期刊上发表SCI检索论文130多篇，其中包括在国际顶级期刊Mathematical Programming、Operations Research、SIAM Journal on Optimization、 Mathematics of Operations Research、Mathematics of Computation、Journal of Machine Learning Research、IEEE Transactions on Automatic Control发表论文二十余篇。在科学出版社出版专著和教材6部。他目前主持一项国家重点研发计划课题，完成和主持自然科学基金面上基金多项,重点基金子课题两项。Asia-Pacific Journal of Operational Research、Numerical Algebra、 Control and Optimization (NACO)和《运筹学学报》编委，2020年获得中国运筹学会运筹研究奖。

内容提要：

In this talk, we propose two basic assumptions, under which the rate of convergence of the augmented Lagrange method for a class of composite optimization problems is estimated. We analyze the rate of local convergence of the augmented Lagrangian method for a nonlinear semidefinite nuclear norm composite optimization problem by verifying these two basic assumptions. Without requiring strict complementarity, we prove that, under the constraint nondegeneracy condition and the strong second order sufficient condition, the rate of convergence is linear and the ratio constant is proportional to 1/c, where c is the penalty parameter that exceeds a threshold $\bar c>0$. The analysis is based on variational analysis about the proximal mapping of the nuclear norm and the projection operator onto the cone of positively semidefinite symmetric matrices.

本讲座提出两项基本假设，在这些假设下，可对一类复合优化问题的增广拉格朗日方法收敛速率进行估计。通过验证这两项基本假设，分析了非线性半定核范数复合优化问题的增广拉格朗日方法局部收敛速率。在不要求严格互补性的前提下，证明：在约束非退化条件与强二阶充分条件下，该方法的收敛速率为线性，且收敛比常数与 1/c 成正比（其中c为惩罚参数且满足 c> c，这里c为某一阈值）。相关分析基于核范数邻近映射与半正定对称矩阵锥投影算子的变分分析。